Matematikos įdomybės

Kuklūs bandymai atsakyti į amžinus klausimus laikiname pasaulyje.
Post Reply
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2004-11-19 11:35

Šioje temoje paprastais žodžiais bandysiu aprašyti įvairiausias matematikos įdomybes, paradoksus ir panašiai :)



Raselo paradoksas

Šį paradoksą atrado Bertranas Raselas (čia tas pats, kurį dažnai cituoju savo paraše) 1901 metais. Taigi...

Kas yra aibė, matyt, žinote visi: tai tiesiog elementų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys. Gali būti, pavyzdžiui, žodžių šioje mano žinutėje aibė, forumo narių aibė, šypsniukų aibė ir t.t.

Aibės elementai taip pat gali būti ir kitos aibės. Tarkime, turime aibę A, kurios elementai - visos aibės, aprašytos šioje mano žinutėje. Atkreipkite dėmesį, kad ką tik aprašiau pačią aibę A, taigi jai turėtų priklausyti ir ji pati.

Dabar tarkime, kad turime aibę B, kurios elementai - aibės, nepriklausančios sau pačioms. Taigi aibė A nepriklauso aibei B. Tačiau esminis klausimas - ar pati aibė B priklauso sau pačiai?

Štai čia ir išlenda Raselo paradoksas. Jeigu aibė B priklauso sau pačiai, tuomet ji negali būti aibės B elementas (pagal aibės B apibrėžimą). Bet... Jeigu aibė B nepriklauso sau pačiai, tuomet apibrėžimą ji tenkina, ir gaunasi, kad ji lyg ir priklauso sau pačiai.

Paradoksas slypi tame, kad mes negalime pasakyti, ar aibė B priklauso sau pačiai, ar ne: nėra nei taip, nei taip. Kad ir kurį iš šių variantų pasirinktume, iš karto gausime prieštaravimą:

Jei B priklauso sau pačiai, tuomet B nepriklauso sau pačiai.
Jei B nepriklauso sau pačiai, tuomet B priklauso sau pačiai.
User avatar
Nomad
senbuvis
Posts: 5460
Joined: 2004-04-18 09:50
Location: Kaunas
Contact:

2004-11-19 12:32

Cool, matematikos įdomybėmis žavėjausi nuo vaikystės :)
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2004-11-19 15:55

Gimtadienio paradoksas

Tai nėra paradoksas, panašus į ankstesnį, kadangi į jokį prieštaravimą neveda. Taičiau buitine prasme tai yra paradoksas, kadangi iš pirmo žvilgsnio prieštarauja taip vadinamajam "sveikam protui".

Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%.

O jei kambaryje yra 60 žmonių, tuomet ši tikymybė dar didesnė - virš 99%.

Nesitiki? Bet taip yra :) Jei kam įdomus sprendimas - parašysiu.
User avatar
Nomad
senbuvis
Posts: 5460
Joined: 2004-04-18 09:50
Location: Kaunas
Contact:

2004-11-19 16:34

Skaičiau šitą, kai domėjausi numerologija. Atrodo, skepdic.org yra visi sprendimai ir straipsnis, jei neklystu ;)
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2004-11-19 17:14

Ateonas wrote:...Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%...
Nepamenu as daba tu tikimybiu paskaiciavimo, bet keisciausias tai sitas dalykas :shock:
User avatar
Svetimas
administratorius
Posts: 2576
Joined: 2004-05-25 19:04
Location: Vilnius

2005-03-16 08:57

Kažkaip buvau pražioplinęs šią temą. :(
Ateonas wrote:Gimtadienio paradoksas[...]
Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%.
O jei kambaryje yra 60 žmonių, tuomet ši tikimybė dar didesnė - virš 99%.
Nesitiki? Bet taip yra :)
Apgaulingas uždavinukas. :)
Ateonas wrote:Raselo paradoksas
Dabar tarkime, kad turime aibę B, kurios elementai - aibės, nepriklausančios sau pačioms. [...] Tačiau esminis klausimas - ar pati aibė B priklauso sau pačiai?

Pabūsiu naivus ir paprašysiu patikslinti "aibės, nepriklausančios sau pačiai" sąvoką.
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 09:18

Svetimas wrote:Pabūsiu naivus ir paprašysiu patikslinti "aibės, nepriklausančios sau pačiai" sąvoką.
Aibė A nepriklauso sau pačiai, jei nei vienas iš aibės A elementų nėra aibė A.
User avatar
Svetimas
administratorius
Posts: 2576
Joined: 2004-05-25 19:04
Location: Vilnius

2005-03-16 09:39

Ateonas wrote:Aibė A nepriklauso sau pačiai, jei nei vienas iš aibės A elementų nėra aibė A.
Bijau, kad prireiks konkrečių "aibės, nepriklausančios sau pačiai" pavyzdžių. Man vis dar neaišku. :oops:
Beje ar galimas toks aibės ženklų: { ir } naudojimas:
1. A={a, b}={{a}, {b}}
2. A={a, b}={A}={{a, b}}
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 09:57

Svetimas wrote:Bijau, kad prireiks konkrečių "aibės, nepriklausančios sau pačiai" pavyzdžių.
Na pavyzdžiui: A = {a, b, c}, kur nei a, nei b, nei c nėra lygūs aibei A.

Svetimas wrote:Beje ar galimas toks aibės ženklų: { ir } naudojimas:
1. A={a, b}={{a}, {b}}
2. A={a, b}={A}={{a, b}}
1. {a, b} tai nėra tas pats kas {{a}, {b}}, nes {a} yra ne elemetas a, o aibė iš vieno elemento a.
2. Tas pats kas 1: A nėėra tas pats kas {A}.
User avatar
Svetimas
administratorius
Posts: 2576
Joined: 2004-05-25 19:04
Location: Vilnius

2005-03-16 10:10

Ateonas wrote:Kas yra aibė, matyt, žinote visi: tai tiesiog elementų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys.
Ateonas wrote:A nėra tas pats kas {A}
Kuom pagrįstas pastarasis teiginys. Rinkinio rinkinys nėra rinkinys?
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 10:37

Svetimas wrote:
Ateonas wrote:Kas yra aibė, matyt, žinote visi: tai tiesiog elementų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys.
Ateonas wrote:A nėra tas pats kas {A}
Kuom pagrįstas pastarasis teiginys. Rinkinio rinkinys nėra rinkinys?
Jeigu aibę A apibrėšime kaip aibę, turinčią vienintelį elementą aibę A (save pačią), tai reikš, kad A = {A}. Tačiau tokios taisyklės, kad A = {A} nepriklausomai nuo to, kokia yra aibė A, nėra. Atisimink, kad dvi aibės laikomos lygiomis tuomet ir tik tuomet, kai jų elementai sutampa. Šiuo atveju turime dvi tokias aibes:

1) A.
2) {A} (pažymėkime ją B).

Jei aibė A = {x, y, z}, tuomet akivaizdu, kad A <> B. Juk netgi elementų skaičius šiose aibėse skiriasi: pirmojoje - 3, antrojoje - 1.
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 10:40

Ach taip, pamiršau paminėti svarbų dalyką: elementai aibėje gali kartotis, tačiau tai yra visiškai nesvarbu, todėl pavyzdžiui {0, 1} = {0, 0, 0, 1, 1}

Vadinasi, jeigu x = A, y = A ir z = A, tuomet A = {A, A, A} = {A}. Tik tokiu atveju A = {A}
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 12:01

Aš čia galvojau, ir man atrodo, aupratau kodėl mes nesusikalbame. Gal tu kalbi apie poaibius?

Apibrėžimas toks: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, jei kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B.

Vadinasi, aibė A yra aibės A poaibis, nepriklausomai nuo to, kokia yra aibė A. Tačiau tai nereiškia, kad vienas iš aibės A elementų yra aibė A.
User avatar
Svetimas
administratorius
Posts: 2576
Joined: 2004-05-25 19:04
Location: Vilnius

2005-03-16 16:36

Tarkim "A = {a, b}" užrašyme "{" ir "}" yra "stalčiaus" rėmai, o "a" ir "b" to "stalčiaus" turinys. Ar aibė žymi "stalčių", ar tik jo turinį?
Pirmuoju atveju turime:
A = {a, b}; D = {A, d} = {{a, b}, d} <> {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra atskiras, savarankiškas elementas.

Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 16:50

Svetimas wrote:Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
Šitas variantus yra neteisingas. Jei aibė A yra kitos aibės poaibis, tai nereiškia, kad ji yra jos elementas. Ir jei ji yra kitos aibės elementas, tai nereiškia, kad ji yra jos poaibis.
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-16 16:55

Ateonas wrote:
Svetimas wrote:Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
Šitas variantus yra neteisingas. Jei aibė A yra kitos aibės poaibis, tai nereiškia, kad ji yra jos elementas. Ir jei ji yra kitos aibės elementas, tai nereiškia, kad ji yra jos poaibis.
O tai kaip apibreziamas tada aibes poaibis?
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-16 18:09

Snukis wrote:O tai kaip apibreziamas tada aibes poaibis?
Jau rašiau kažkur: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, kai visi aibės A elementai priklauso aibei B. Ne tuomet, kai aibė A priklauso aibei B - tai skirtingi dalykai.
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-16 19:37

Ateonas wrote:...Jau rašiau kažkur: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, kai visi aibės A elementai priklauso aibei B. Ne tuomet, kai aibė A priklauso aibei B - tai skirtingi dalykai.
Bet gi kalba ir eina apie aibe kaip visuma, t.y. reikia suprasti pasakyma - "Aibe A priklauso aibei B" kaip - "visa aibe A su visais savo elementais priklauso aibei B. Atveju kai yra aibiu A ir B sankirta, negalima isvis vartoti pasakymo, kad kazkuri is tu aibiu priklauso kitai.

Vabse tai - nesvarbu :roll: Sorry jei nutraukiau pokalbio minty :oops:
Post Reply