Matematikos įdomybės

Ramesnės ir draugiškesnės diskusijos be politikos. Mažiau apie politines pažiūras, vertybes ar pan. bei labiau kurstomos smalsumo sau įdomia tema.
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-17 19:52

7x wrote:
Snukis wrote:Bet minimali salyga poaibiui - buti toje aibeje.
Taciau jei poaibis bus aibeje, tai jis bus tos aibes elementas. Kuom tada elementas skiriasi nuo poaibio?
O kodel jis butinai turi skirtis? Jeigu aibe Z sudaryta is elementu A, B, C, D,... , kurie yra irgi aibes, tai negi tos aibes nera Z aibes poaibiai?
Nomad suformulavo konkretu pavyzdi: Jis (aibes "kabinetas" elementas) yra kabinete (aibes "pastatas" poaibis), kuris yra pastate. Klausia - Negi jis nera pastate ("pastato" poaibis)? Jei kalbeti apie visu (identisku arba ne) kabinetu aibe, tai galimas variantas, kad Nomad nebus pastate. Bet konkretus pastatas su konkreciu rinkiniu kabinetu, kur konkreciai yra Nomad, nebus visu kabinetu aibe, o tik visu kabinetu aibes poaibis.
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-18 00:18

Svetimas wrote:Pasakymas: "barzdaskutys, kuris skuta barzdas visiems, kurie nesiskuta jų patys" yra netikslus. Todėl ir atsiranda paradoksas. Realiai išsireiškime "skuta barzdas visiems, kurie nesiskuta jų patys", apie patį barzdaskutį neturėtų būti kalbama. Reikėtų sakyti: barzdaskutys skuta tuos (išskyrus aišku save patį), kurie nesiskuta patys. Šalia to, papildomai galima dar pridurti: ar barzdaskutys pats skutasi/nesiskuta.
Tarkime, kad A - aibė visų žmonių, kurie nesiskuta patys. Pagal apibrėžimą, juos skuta barzdaskutys a. Ar a priklauso A?

Pagal naiviąją, intuityvią aibių teoriją mūsų sukonstruota aibė yra visiškai tvarkinga. Tačiau iš viso to kyla paradoksas, ir jo vengdamas tu naiviąją aibių teoriją aksiomatizuoji - įvedi papildomą aibių konstravimo taisyklę.

Beje... Yra neįmanoma įrodyti, kad net ir su šia taisykle tokia aksiomatizuota teorija nesusidurs su kokiu nors kitu paradoksu.
User avatar
Svetimas
senbuvis
Posts: 4692
Joined: 2004-05-25 19:04
Location: Vilnius

2005-03-18 11:03

Nesupratau, Ateonai, paskutinio Tavo posto. Tai buvo klausimas ar komentaras?
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-18 11:50

Komentaras. Pirmojoje pastraipoje tiesiog perrašiau tą pavyzduką su barzdaskučiu naudodamas aibes, kad matytųsi kodėl pasakymas "barzdaskutys, kuris skuta barzdas visiems, kurie nesiskuta jų patys" yra naiviosios aibių treorijos pažiūriu tikslus ir teisingas.
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-18 16:58

Ateonas wrote:... "barzdaskutys, kuris skuta barzdas visiems, kurie nesiskuta jų patys" yra naiviosios aibių treorijos pažiūriu tikslus ir teisingas.
Del tikslumo - nezinau, bet del teisingumo smarkiai abejoju...
Jei yra pradine salyga, kad aibes nera savo paciu elementai - automatiskai barzdaskutys turi priklausyti aibei, kurie patys skutasi ir jokio paradokso nera, nes atsakymas isplaukia is pradiniu salygu.
Kazkas i paradoksa panasaus gaunasi tik tuo atveju, kada manoma, jog barzdaskutys priklauso aibei, kurie nesiskuta patys, taciau tai priestarauja pradinems salygoms. Tuo atveju kai barzdaskutys priklauso tiems, kurie nesiskuta patys yra esminis priestaravimas aibes ir poaibio sampratai, kurios nutylimos, nes yra aksiomos: Aibe negali buti savo pacios elemento poaibiu net tada, kai tas elementas yra kita aibe. Cia velgi suprantama, kad kalbama apie aibe, kuri susideda is daugiau nei vieno elemento (nes tokiu atveju aukstesnis teiginys butu neakivaizdus). Kai barzdaskutys (Aibes tu, kurie nesiskuta elementas) tvarko visa aibe, gaunasi, kad ta aibe nesiskutanciuju yra barzdaskucio poaibis. Taip sakant - kas ka "talpina savyje"? - Kitas pavyzdys: Visas mano turtas (butas, baldai...) telpa mano pingineje. Grizes namo as supratau, kad pameciau pinigine. Kur tada as grizau?... Akivaizdu, kad teiginiai turi tarpusavyje derintis - arba visas mano turtas netelpa i pinigine, arba as pameciau ne ta pinigine, arba as negrizau namo. Taip ir barzdaskutys negali prikalusyti tai paciai aibei, kuria jis valdo ir paradokso nelieka.
NIL
pradedantis
Posts: 131
Joined: 2004-09-20 10:00
Location: Vilnius

2005-03-18 23:42

Aibė yra tiesiog rinkinio abstrakcija, ji į elemantus žiūri tieisog kaip į objektus ir lokiais būdais nenagrinėja jos turinio. Čia buvo geras pavyzdys su dėže kurioje yra kitos dėžės. Jei dėžėje D1 yra dėžė D2, o dėžėje D2 dėžė D3 Tai žiūrint į jas kaip į aibes dėžė D3 nėra dėžėje D1. Čia galbūt viską painioja ta savoka "viduje", kurią mes taikome kasdieniame gyvenime.
Snukis wrote: Kai barzdaskutys (Aibes tu, kurie nesiskuta elementas) tvarko visa aibe, gaunasi, kad ta aibe nesiskutanciuju yra barzdaskucio poaibis. Taip sakant - kas ka "talpina savyje"?
Tik aibė gali turėti poaibį. Barzdaskutys yra kažkokios aibės elementas, o ne aibė.
Snukis wrote: - Kitas pavyzdys: Visas mano turtas (butas, baldai...) telpa mano pingineje. Grizes namo as supratau, kad pameciau pinigine. Kur tada as grizau?... Akivaizdu, kad teiginiai turi tarpusavyje derintis - arba visas mano turtas netelpa i pinigine, arba as pameciau ne ta pinigine, arba as negrizau namo. Taip ir barzdaskutys negali prikalusyti tai paciai aibei, kuria jis valdo ir paradokso nelieka.
Loginė klaida yra Grizes namo as supratau. Tuo momentu kai pametei piniginę praradai ir namus. Į ką tuomet grįžai? :)
Anyway tai su aibem turi mažai bendro.
NIL
pradedantis
Posts: 131
Joined: 2004-09-20 10:00
Location: Vilnius

2005-03-18 23:55

Beje tema lyg ir apie matematikos įdomybes, o ne apie aibių teoriją. Tad dar viena įdomybė (na gal ir ne įdomybė, gal čia tik man vienam taip pasirodė :) )

Kaip žinia matematikai įpratę apskritimo lanko ilgio ir jo skersmens santikį žimėti Pi, kuris apytiksliai lygus ~3,1415... Taip pat nepaslaptis, jog šis skaičius yra begalinis t.y. jo neįmanoma išreikšti skaičiais visiškai tiksliai, taip pat nėra jokio periodo.
Jei užrašytume šį skaičiu dvejetaine išraiška, sugrupuotume visus jo skaitmenis po 8 ir į kiekvieną rinkinį pasižiūrėtume kaip į Ascii simbolį, gautume begalinę simbolių seką. Visai nesunkiai galima įrodyt, kad kažkurioje šios simbolių sekos vietoje mes rasime žodį "skeptikas", kažkurioje vietoje galėsim perskaityt bibliją, visas skeptikas.org forumo žinutes ir t.t. T.y. įšeina taip jog apskritimo lanko ir jo skersmens santykyje yra užkoduota visą pasaulinė literatūra visi rašmenys ir t.t.
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-20 16:02

NIL wrote:...Tik aibė gali turėti poaibį. Barzdaskutys yra kažkokios aibės elementas, o ne aibė.
Ta prasme sutinki, kad barzdaskutys negali tuo paciu metu priklausyti nesiskutanciuju aibei ir ta aibe priklausyti jam?
NIL wrote:
Snukis wrote:- Kitas pavyzdys: Visas mano turtas (butas, baldai...) telpa mano pingineje. Grizes namo as supratau, kad pameciau pinigine. Kur tada as grizau?...
Loginė klaida yra Grizes namo as supratau. Tuo momentu kai pametei piniginę praradai ir namus. Į ką tuomet grįžai? :)
Anyway tai su aibem turi mažai bendro.
Logine klaida yra manyti, kad ivykusio fakto konstatavimas yra klaida :wink: Susiduriama su faktu, kad pinigines nera. Reikia suprasti tai kaip aksioma, o jos, kaip zinoma - neirodinejamos :wink: O va teiginai, kad - namas telpa pingineje; ar pamesta pinigine yra butent ta pinigine kurioje telpa namas, o ne kita i kuria namas netilpo?; ar sugrizau i savo namus?; - nera aksiomatiniai (akivaizdus ir negincijami). Jie gali buti nelogiski ypac tada, kai priestarauja vienas kitam, nesiderina.
NIL
pradedantis
Posts: 131
Joined: 2004-09-20 10:00
Location: Vilnius

2005-03-20 16:25

Snukis wrote:
NIL wrote:...Tik aibė gali turėti poaibį. Barzdaskutys yra kažkokios aibės elementas, o ne aibė.
Ta prasme sutinki, kad barzdaskutys negali tuo paciu metu priklausyti nesiskutanciuju aibei ir ta aibe priklausyti jam?
Barzdaskutys pats nėra aibė, tad jam negali priklausyti niekas.

Bet šiaip tokia situacija galima (tik aišku ne su barzdaskučius). pvz
Turim visų netuščių aibių aibę. Ji priklauso tai aibei ir jai ta aibė priklauso :)


Ką norėjai pasakyt apie tą pavyzdį su namais iš piniginės nesupratau :)
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-20 16:33

NIL wrote:Barzdaskutys pats nėra aibė, tad jam negali priklausyti niekas.
tokiu atveju ir paradokso nelieka :wink:
NIL wrote:Bet šiaip tokia situacija galima (tik aišku ne su barzdaskučius). pvz
Turim visų netuščių aibių aibę. Ji priklauso tai aibei ir jai ta aibė priklauso :)
Ką norėjai pasakyt apie tą pavyzdį su namais iš piniginės nesupratau :)
Tai ta ir norejau pasakyti, kad paradoksas su barzdaskuciu gaunasi tik tada kai neatsizvelgiama i skirtuma tarp aibes ir vieno jos elemento. Su namu konkreciai ir gaunasi - kas yra (gali buti) kieno poaibis ar elementas ir kas nera (negali buti) kazkieno poaibiu ar elementu.
NIL
pradedantis
Posts: 131
Joined: 2004-09-20 10:00
Location: Vilnius

2005-03-20 16:59

Snukis wrote:
NIL wrote:Barzdaskutys pats nėra aibė, tad jam negali priklausyti niekas.
tokiu atveju ir paradokso nelieka :wink:
Ne, paradoksas išlieka betkokiu atveju. Barzdaskutys yra tam tikru būdu apibrėžtas aibės elementas (tiesa šitai sunku pasakyt, nes paradoksas ir yra būtent šitoj vietoj)
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-21 15:47

NIL wrote:
Snukis wrote:
NIL wrote:Barzdaskutys pats nėra aibė, tad jam negali priklausyti niekas.
tokiu atveju ir paradokso nelieka :wink:
Ne, paradoksas išlieka betkokiu atveju. Barzdaskutys yra tam tikru būdu apibrėžtas aibės elementas (tiesa šitai sunku pasakyt, nes paradoksas ir yra būtent šitoj vietoj)
Tai kad - ne! Jei pradinese salygose nurodyta, kad "aibes yra nepriklausancios sau", reiskia, jog jos negali priklausyti sau pacioms jokiu budu, t.y. tame tarpe ir per priklausyma savo elementams. Norinciuju buti nuskustiems, bet savarankiskai nesiskutanciuju aibe negali priklausyti nuo vieno/vienam savo elementui nesiskutanciajam barzdaskuciui, nes tokiu atveju aibe priklausys pati sau. Tai priestarauja pradinem salygom. Atmetus toki negalima varianta jokio paradokso nelieka!
NIL
pradedantis
Posts: 131
Joined: 2004-09-20 10:00
Location: Vilnius

2005-03-21 16:33

Snukis wrote:
NIL wrote:
Snukis wrote: tokiu atveju ir paradokso nelieka :wink:
Ne, paradoksas išlieka betkokiu atveju. Barzdaskutys yra tam tikru būdu apibrėžtas aibės elementas (tiesa šitai sunku pasakyt, nes paradoksas ir yra būtent šitoj vietoj)
Tai kad - ne! Jei pradinese salygose nurodyta, kad "aibes yra nepriklausancios sau", reiskia, jog jos negali priklausyti sau pacioms jokiu budu, t.y. tame tarpe ir per priklausyma savo elementams. Norinciuju buti nuskustiems, bet savarankiskai nesiskutanciuju aibe negali priklausyti nuo vieno/vienam savo elementui nesiskutanciajam barzdaskuciui, nes tokiu atveju aibe priklausys pati sau. Tai priestarauja pradinem salygom. Atmetus toki negalima varianta jokio paradokso nelieka!
1)"t.y. tame tarpe ir per priklausyma savo elementams."
Tai netiesa.
2) Barzdaskutys nėra aibė, jam niekas nepriklauso.
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-21 16:44

NIL wrote:1)"t.y. tame tarpe ir per priklausyma savo elementams."
Tai netiesa.
2) Barzdaskutys nėra aibė, jam niekas nepriklauso.
Taciau tik tada kai 1) ir 2) yra gaunamas paradoksas, o atmetus juos kaip neteisingus paradokso ir nelieka.
User avatar
Svetimas
senbuvis
Posts: 4692
Joined: 2004-05-25 19:04
Location: Vilnius

2005-03-21 23:47

NIL wrote:Kaip žinia matematikai įpratę apskritimo lanko ilgio ir jo skersmens santikį žimėti Pi, kuris apytiksliai lygus ~3,1415... Taip pat nepaslaptis, jog šis skaičius yra begalinis t.y. jo neįmanoma išreikšti skaičiais visiškai tiksliai, taip pat nėra jokio periodo.
Jei užrašytume šį skaičiu dvejetaine išraiška, sugrupuotume visus jo skaitmenis po 8 ir į kiekvieną rinkinį pasižiūrėtume kaip į Ascii simbolį, gautume begalinę simbolių seką. Visai nesunkiai galima įrodyt, kad kažkurioje šios simbolių sekos vietoje mes rasime žodį "skeptikas", kažkurioje vietoje galėsim perskaityt bibliją, visas skeptikas.org forumo žinutes ir t.t. T.y. įšeina taip jog apskritimo lanko ir jo skersmens santykyje yra užkoduota visą pasaulinė literatūra visi rašmenys ir t.t.
Įrodyk, jei taip nesunku. :shock: Manau, neužtenka vien tik intuityviai pasiremti teiginiu, kad Pi sudaro begalinę neperiodinę skaitmenų seką ir todėl joje, pagal klasikinį tikimybės supratimą, gali būti užkoduotas bet koks rašytinis šaltinis. Svarbu bent iš principo žinoti ir kaip skaičiai išsibarstę toje skaitmenų sekoje, nes yra begalinių neperiodinių sekų, kurios Biblijos ir pan. negalėtų niekaip sugeneruoti. Elementarus pavyzdys (c, a ir b atitinka skirtingas baigtines skaitmenų sekas):
c[,]abaabaaabaaaabaaaaabaaaaaabaaaaaaab.....
c[,]abaabbaaabbbaaaabbbbaaaaabbbbbb...
ir pan.
skaičiai bus begaliniai, bet neperiodiniai.
NIL
pradedantis
Posts: 131
Joined: 2004-09-20 10:00
Location: Vilnius

2005-03-22 10:28

Svetimas wrote:Įrodyk, jei taip nesunku. :shock: Manau, neužtenka vien tik intuityviai pasiremti teiginiu, kad Pi sudaro begalinę neperiodinę skaitmenų seką ir todėl joje, pagal klasikinį tikimybės supratimą, gali būti užkoduotas bet koks rašytinis šaltinis. Svarbu bent iš principo žinoti ir kaip skaičiai išsibarstę toje skaitmenų sekoje, nes yra begalinių neperiodinių sekų, kurios Biblijos ir pan. negalėtų niekaip sugeneruoti. Elementarus pavyzdys (c, a ir b atitinka skirtingas baigtines skaitmenų sekas):
c[,]abaabaaabaaaabaaaaabaaaaaabaaaaaaab.....
c[,]abaabbaaabbbaaaabbbbaaaaabbbbbb...
ir pan.
skaičiai bus begaliniai, bet neperiodiniai.
Jo tu teisus, reikia dar salygos, kad skaičių sekoje nėra jokio dėsningumo, t.y. sekantis skaičius sekoje nepriklauso nuo prieš tai esančio. Tuomet naudojantis Borelio-Cantelli lema galima įrodyti, jog Bibliją skaičiuje Pi galima bus perskaityti begalybe kartų.

Bet tiesa sakant dabar net pats suabejojau ar tikrai taip yra, visgi šioks toks dėsningumas tame skaičiuje yra. Pi juk galima išreikšti skaičių eilutėmis. Paprasčiausia - pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...

Šita "įdomybę" radau ieškodamas pi skaičiavimo algoritmų. Lyg ir gan autoritetingas šaltiis buvo. Bet dabar jau pusvalandy knisuosi ir niekaip negaliu rast.
Meduolis
emeritas
Posts: 3707
Joined: 2004-04-17 18:14
Location: Sheule

2005-03-22 22:54

Snukis wrote:Tai kad - ne! Jei pradinese salygose nurodyta, kad "aibes yra nepriklausancios sau", reiskia, jog jos negali priklausyti sau pacioms jokiu budu, t.y. tame tarpe ir per priklausyma savo elementams. Norinciuju buti nuskustiems, bet savarankiskai nesiskutanciuju aibe negali priklausyti nuo vieno/vienam savo elementui nesiskutanciajam barzdaskuciui, nes tokiu atveju aibe priklausys pati sau. Tai priestarauja pradinem salygom. Atmetus toki negalima varianta jokio paradokso nelieka!
Abstraktaus mąstymo, Snuki, pas tave nulis, nepyk. Jaučiu, jei pradėtume nagrinėti kokią nors visiškai neintuityvią matematikos šaką, kaip mat rastum visokių "prieštaravimų" ir "neatitikimų faktams".

Bandau dar kartą išaiškinti. Šį kartą labai aiškiai.

1) A1 - žmonių, kurie skutasi patys, aibė.
2) A2 - žmonių, kurie patys nesiskuta aibė.
3) Kad ir kokį žmogų beimtume, jis priklausys arba aibei A1, arba aibei A2. Juk akivaizdu - žmogus arba skutasi pats, arba nesiskuta, jokio kitokio varianto nėra.
4) Yra barzdaskutys (beje, jis yra žmogus), kuris skuta barzdas visiems, kurie jų nesiskuta patys. T.y., jei žmogus x sau skutasi barzdą, tai šis barzdaskutys jam barzdos neskus. Jei žmogus y sau barzdos nesiskuta, tai šis barzdaskutys ją jam labai gražiai nuskus.

Taigi, pabandyk man dabar labai aiškiai nurodyti, kur tu čia matai problemą. Kitaip sakant, kuo šis naiviosios aibių teorijos taikymas klaidingas?
User avatar
Snukis
senbuvis
Posts: 3214
Joined: 2004-06-03 18:27
Location: Kaunas
Contact:

2005-03-23 11:41

Ateonas wrote:Abstraktaus mąstymo, Snuki, pas tave nulis, nepyk.
Akurat - nepykstu! :) Jei laikai betkoki nenuoseklu/nelogiska mastyma abstrakciu mastymu, tai logiska, kad tada as netgi stengiuosi nemastyti abstrakciai :wink:
Ateonas wrote: Jaučiu, jei pradėtume nagrinėti kokią nors visiškai neintuityvią matematikos šaką, kaip mat rastum visokių "prieštaravimų" ir "neatitikimų faktams".
Nu jeigu tokioj "sakoj" faktai islauziami is pirsto, tai - beabejo! :D
Ateonas wrote:Bandau dar kartą išaiškinti. Šį kartą labai aiškiai...
Bandau ir as...
Pradines salygos Raselo paradokso - aibes nepriklauso pacios sau/nera saves pacios elementas, poaibis! Aibes poaibio elementai nepriklauso aibei.
Aibe A {1,3,5,...} - skutasi patys; aibe B {2,4,6...} - nesiskuta patys, c - barzdaskutys. Pradzioje teigiama, kad jei c priklauso aibei A, o c aptarnauja visa aibe B, tai nereiskia, kad aibe A yra {B,1,2,3,..} arba {1,2,3,4,5,6,...}, o A yra {c,1,2,3,...} (nes pagal formulavima - elementas c aptarnauja visa aibe B, t.y. aibe B yra aibes/elemento c poaibis!). Tai dar nekelia jokiu paradoksu, nes dar laikomasi pradiniu salygu.
Paradoksas atsiranda ne nuo to, kad barzdaskutys atsiduria aibeje B, o del pradiniu salygu nesilaikymo ir nenuoseklaus/nelogisko mastymo:
Jei c priklauso aibei B, tai B {c,2,4,6,...} = B {...{B,2,...2,4...4,6...6,....}...}!!! Taigi - jau teigiama, kad aibes poaibio elementai priklauso ir aibei, bei aibe B priklauso n kartu sau paciai, yra n kartu savo pacios poaibis ir n kartu savo pacios elementas!!! Tik tada ir gaunasi paradoksas!!!
Idemiai ziurim i pradines salygas ir matom, kad pasielgta priestaraujant pradinems salygoms, nenuosekliai - nelogiskai!
Ko tada stebetis, jei po netaisyklingo elgesio ir nenuoseklaus mastymo gaunasi paradoksai!
Kiek as esu susidures su paradoksais galiu pasakyti tik viena - Jei teorijoje yra paradoksas, ji yra - neteisinga!
Post Reply