Matematikos įdomybės
Šioje temoje paprastais žodžiais bandysiu aprašyti įvairiausias matematikos įdomybes, paradoksus ir panašiai
Raselo paradoksas
Šį paradoksą atrado Bertranas Raselas (čia tas pats, kurį dažnai cituoju savo paraše) 1901 metais. Taigi...
Kas yra aibė, matyt, žinote visi: tai tiesiog elementų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys. Gali būti, pavyzdžiui, žodžių šioje mano žinutėje aibė, forumo narių aibė, šypsniukų aibė ir t.t.
Aibės elementai taip pat gali būti ir kitos aibės. Tarkime, turime aibę A, kurios elementai - visos aibės, aprašytos šioje mano žinutėje. Atkreipkite dėmesį, kad ką tik aprašiau pačią aibę A, taigi jai turėtų priklausyti ir ji pati.
Dabar tarkime, kad turime aibę B, kurios elementai - aibės, nepriklausančios sau pačioms. Taigi aibė A nepriklauso aibei B. Tačiau esminis klausimas - ar pati aibė B priklauso sau pačiai?
Štai čia ir išlenda Raselo paradoksas. Jeigu aibė B priklauso sau pačiai, tuomet ji negali būti aibės B elementas (pagal aibės B apibrėžimą). Bet... Jeigu aibė B nepriklauso sau pačiai, tuomet apibrėžimą ji tenkina, ir gaunasi, kad ji lyg ir priklauso sau pačiai.
Paradoksas slypi tame, kad mes negalime pasakyti, ar aibė B priklauso sau pačiai, ar ne: nėra nei taip, nei taip. Kad ir kurį iš šių variantų pasirinktume, iš karto gausime prieštaravimą:
Jei B priklauso sau pačiai, tuomet B nepriklauso sau pačiai.
Jei B nepriklauso sau pačiai, tuomet B priklauso sau pačiai.
Raselo paradoksas
Šį paradoksą atrado Bertranas Raselas (čia tas pats, kurį dažnai cituoju savo paraše) 1901 metais. Taigi...
Kas yra aibė, matyt, žinote visi: tai tiesiog elementų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys. Gali būti, pavyzdžiui, žodžių šioje mano žinutėje aibė, forumo narių aibė, šypsniukų aibė ir t.t.
Aibės elementai taip pat gali būti ir kitos aibės. Tarkime, turime aibę A, kurios elementai - visos aibės, aprašytos šioje mano žinutėje. Atkreipkite dėmesį, kad ką tik aprašiau pačią aibę A, taigi jai turėtų priklausyti ir ji pati.
Dabar tarkime, kad turime aibę B, kurios elementai - aibės, nepriklausančios sau pačioms. Taigi aibė A nepriklauso aibei B. Tačiau esminis klausimas - ar pati aibė B priklauso sau pačiai?
Štai čia ir išlenda Raselo paradoksas. Jeigu aibė B priklauso sau pačiai, tuomet ji negali būti aibės B elementas (pagal aibės B apibrėžimą). Bet... Jeigu aibė B nepriklauso sau pačiai, tuomet apibrėžimą ji tenkina, ir gaunasi, kad ji lyg ir priklauso sau pačiai.
Paradoksas slypi tame, kad mes negalime pasakyti, ar aibė B priklauso sau pačiai, ar ne: nėra nei taip, nei taip. Kad ir kurį iš šių variantų pasirinktume, iš karto gausime prieštaravimą:
Jei B priklauso sau pačiai, tuomet B nepriklauso sau pačiai.
Jei B nepriklauso sau pačiai, tuomet B priklauso sau pačiai.
Cool, matematikos įdomybėmis žavėjausi nuo vaikystės
Gimtadienio paradoksas
Tai nėra paradoksas, panašus į ankstesnį, kadangi į jokį prieštaravimą neveda. Taičiau buitine prasme tai yra paradoksas, kadangi iš pirmo žvilgsnio prieštarauja taip vadinamajam "sveikam protui".
Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%.
O jei kambaryje yra 60 žmonių, tuomet ši tikymybė dar didesnė - virš 99%.
Nesitiki? Bet taip yra Jei kam įdomus sprendimas - parašysiu.
Tai nėra paradoksas, panašus į ankstesnį, kadangi į jokį prieštaravimą neveda. Taičiau buitine prasme tai yra paradoksas, kadangi iš pirmo žvilgsnio prieštarauja taip vadinamajam "sveikam protui".
Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%.
O jei kambaryje yra 60 žmonių, tuomet ši tikymybė dar didesnė - virš 99%.
Nesitiki? Bet taip yra Jei kam įdomus sprendimas - parašysiu.
Skaičiau šitą, kai domėjausi numerologija. Atrodo, skepdic.org yra visi sprendimai ir straipsnis, jei neklystu
Nepamenu as daba tu tikimybiu paskaiciavimo, bet keisciausias tai sitas dalykasAteonas wrote:...Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%...
Kažkaip buvau pražioplinęs šią temą.
Pabūsiu naivus ir paprašysiu patikslinti "aibės, nepriklausančios sau pačiai" sąvoką.
Apgaulingas uždavinukas.Ateonas wrote:Gimtadienio paradoksas[...]
Tarkime, kambaryje yra 23 žmonės. Tikimybė, kad du iš jų bus gimę tą pačią metų dieną, yra 50%.
O jei kambaryje yra 60 žmonių, tuomet ši tikimybė dar didesnė - virš 99%.
Nesitiki? Bet taip yra
Ateonas wrote:Raselo paradoksas
Dabar tarkime, kad turime aibę B, kurios elementai - aibės, nepriklausančios sau pačioms. [...] Tačiau esminis klausimas - ar pati aibė B priklauso sau pačiai?
Pabūsiu naivus ir paprašysiu patikslinti "aibės, nepriklausančios sau pačiai" sąvoką.
Bijau, kad prireiks konkrečių "aibės, nepriklausančios sau pačiai" pavyzdžių. Man vis dar neaišku.Ateonas wrote:Aibė A nepriklauso sau pačiai, jei nei vienas iš aibės A elementų nėra aibė A.
Beje ar galimas toks aibės ženklų: { ir } naudojimas:
1. A={a, b}={{a}, {b}}
2. A={a, b}={A}={{a, b}}
Na pavyzdžiui: A = {a, b, c}, kur nei a, nei b, nei c nėra lygūs aibei A.Svetimas wrote:Bijau, kad prireiks konkrečių "aibės, nepriklausančios sau pačiai" pavyzdžių.
1. {a, b} tai nėra tas pats kas {{a}, {b}}, nes {a} yra ne elemetas a, o aibė iš vieno elemento a.Svetimas wrote:Beje ar galimas toks aibės ženklų: { ir } naudojimas:
1. A={a, b}={{a}, {b}}
2. A={a, b}={A}={{a, b}}
2. Tas pats kas 1: A nėėra tas pats kas {A}.
Jeigu aibę A apibrėšime kaip aibę, turinčią vienintelį elementą aibę A (save pačią), tai reikš, kad A = {A}. Tačiau tokios taisyklės, kad A = {A} nepriklausomai nuo to, kokia yra aibė A, nėra. Atisimink, kad dvi aibės laikomos lygiomis tuomet ir tik tuomet, kai jų elementai sutampa. Šiuo atveju turime dvi tokias aibes:Svetimas wrote:Ateonas wrote:Kas yra aibė, matyt, žinote visi: tai tiesiog elementų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys.Kuom pagrįstas pastarasis teiginys. Rinkinio rinkinys nėra rinkinys?Ateonas wrote:A nėra tas pats kas {A}
1) A.
2) {A} (pažymėkime ją B).
Jei aibė A = {x, y, z}, tuomet akivaizdu, kad A <> B. Juk netgi elementų skaičius šiose aibėse skiriasi: pirmojoje - 3, antrojoje - 1.
Ach taip, pamiršau paminėti svarbų dalyką: elementai aibėje gali kartotis, tačiau tai yra visiškai nesvarbu, todėl pavyzdžiui {0, 1} = {0, 0, 0, 1, 1}
Vadinasi, jeigu x = A, y = A ir z = A, tuomet A = {A, A, A} = {A}. Tik tokiu atveju A = {A}
Vadinasi, jeigu x = A, y = A ir z = A, tuomet A = {A, A, A} = {A}. Tik tokiu atveju A = {A}
Aš čia galvojau, ir man atrodo, aupratau kodėl mes nesusikalbame. Gal tu kalbi apie poaibius?
Apibrėžimas toks: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, jei kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B.
Vadinasi, aibė A yra aibės A poaibis, nepriklausomai nuo to, kokia yra aibė A. Tačiau tai nereiškia, kad vienas iš aibės A elementų yra aibė A.
Apibrėžimas toks: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, jei kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B.
Vadinasi, aibė A yra aibės A poaibis, nepriklausomai nuo to, kokia yra aibė A. Tačiau tai nereiškia, kad vienas iš aibės A elementų yra aibė A.
Tarkim "A = {a, b}" užrašyme "{" ir "}" yra "stalčiaus" rėmai, o "a" ir "b" to "stalčiaus" turinys. Ar aibė žymi "stalčių", ar tik jo turinį?
Pirmuoju atveju turime:
A = {a, b}; D = {A, d} = {{a, b}, d} <> {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra atskiras, savarankiškas elementas.
Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
Pirmuoju atveju turime:
A = {a, b}; D = {A, d} = {{a, b}, d} <> {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra atskiras, savarankiškas elementas.
Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
Šitas variantus yra neteisingas. Jei aibė A yra kitos aibės poaibis, tai nereiškia, kad ji yra jos elementas. Ir jei ji yra kitos aibės elementas, tai nereiškia, kad ji yra jos poaibis.Svetimas wrote:Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
O tai kaip apibreziamas tada aibes poaibis?Ateonas wrote:Šitas variantus yra neteisingas. Jei aibė A yra kitos aibės poaibis, tai nereiškia, kad ji yra jos elementas. Ir jei ji yra kitos aibės elementas, tai nereiškia, kad ji yra jos poaibis.Svetimas wrote:Antruoju atveju:
A = {a, b}; D = {A, d} = {a, b, d}
Aibė A kitoje aibėje yra elementų rinkinys.
Jau rašiau kažkur: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, kai visi aibės A elementai priklauso aibei B. Ne tuomet, kai aibė A priklauso aibei B - tai skirtingi dalykai.Snukis wrote:O tai kaip apibreziamas tada aibes poaibis?
Bet gi kalba ir eina apie aibe kaip visuma, t.y. reikia suprasti pasakyma - "Aibe A priklauso aibei B" kaip - "visa aibe A su visais savo elementais priklauso aibei B. Atveju kai yra aibiu A ir B sankirta, negalima isvis vartoti pasakymo, kad kazkuri is tu aibiu priklauso kitai.Ateonas wrote:...Jau rašiau kažkur: aibė A yra aibės B poaibis tuomet ir tik tuomet, kai visi aibės A elementai priklauso aibei B. Ne tuomet, kai aibė A priklauso aibei B - tai skirtingi dalykai.
Vabse tai - nesvarbu Sorry jei nutraukiau pokalbio minty